ศาสตราจารย์ฉ่ำ ทองคำวรรณ เกิดเมื่อวันที่ 10 พฤศจิกายน พ.ศ. 2440 เป็นบุตรของนายมี และนางซิม ทองคำวรรณ ที่หมู่บ้านสำโรง จ.พระตะบอง ซึ่งขณะนั้นยังเป็นดินแดนของประเทศไทย โดยศึกษาเล่าเรียนภาษาบาลีกับไทย ที่ จ.พระตะบอง อาจารย์คนแรก คือ ท่านออกญาสุตตันตปรีชา (อิน)

ในปี พ.ศ. 2456 ได้บรรพชาเป็นสามเณรและเดินทางเข้ามายังกรุงเทพฯ โดยไปจำพรรษาอยู่ที่วัดโมฬีโลก 3 พรรษา และใน พ.ศ. 2459 ไปจำพรรษาที่วัดมหาธาตุ ได้อุปสมบทเป็นพระภิกษุเมื่อ พ.ศ. 2460 ได้เปรียญ 3 ประโยค จนกระทั่งวันที่ 1 มีนาคม พ.ศ. 2464 ได้ลาสิกขาบท ซึ่งศาสตราจารย์ยอร์ช เซเดส์ ได้นำอาจารย์ฉ่ำไปฝากทำงานอยู่กับสมเด็จฯ กรมพระยาดำรงราชานุภาพ ที่ราชบัณฑิตยสถาน

ในช่วง 9 ปีแรกอาจารย์ฉ่ำ ได้ทำงานเกี่ยวกับจดหมายเหตุเขมร-ไทย จนกระทั่งในปี พ.ศ. 2473 ศาสตราจารย์ยอร์ช เซเดส์ ได้เดินทางกลับไปประเทศฝรั่งเศส ดังนั้น สมเด็จฯ กรมพระยาดำรงราชานุภาพจึงทรงมีรับสั่งให้อาจารย์ฉ่ำ ทำหน้าที่แทนศาสตราจารย์ยอร์ช เซเดส์ ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา โดยในปี พ.ศ. 2485 ได้เป็นกรรมการชำระปทานุกรม จนกระทั่ง พ.ศ. 2492 ได้มาเป็นอาจารย์สอนภาษาเขมรในคณะอักษรศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย และในปี พ.ศ. 2497 เริ่มสอนภาษาเขมรและอ่านจารึกที่คณะโบราณคดี มหาวิทยาลัยศิลปากร (ตั้งแต่ช่วงเริ่มตั้งคณะ) อีกทั้งได้เป็นกรรมการพิมพ์เอกสารทางประวัติศาสตร์ วัฒนธรรมและโบราณคดี สำนักนายกรัฐมนตรี ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2505 เป็นต้นมา

อาจารย์ฉ่ำ ทองคำวรรณ ถึงแก่กรรมด้วยโรคหัวใจล้มเหลว ณ บ้านตรอกมะยม ถนนจักรพงศ์ กรุงเทพฯ เมื่อวันที่ 20 มีนาคม พ.ศ. 2512 ขณะมีอายุ 72 ปี อย่างไรก็ตาม ในช่วงที่อาจารย์ฉ่ำ ได้ทำงานและอุทิศตนให้แก่งานด้านจารึก จึงได้มีผลงานด้านวิชาการที่ส่วนใหญ่เกี่ยวกับด้านอักษรและจารึกต่างๆ ออกมาเป็นจำนวนมาก ซึ่งมีคุณประโยชน์ต่อวงการประวัติศาสตร์และโบราณคดีไทยเป็นอย่างมาก เช่น คำอ่านจารึกวัดพระยืน, ศิลาจารึกสุโขทัยหลักที่ 1, สันนิษฐานเทียบการเขียนอักษรไทยกับอักษรขอมในสมัยพ่อขุนรามคำแหง, คำอ่านศิลาจารึก วัดเชียงมั่น จังหวัดเชียงใหม่, คำอ่านศิลาจารึกที่วัดพระแก้วดอนเต้า จังหวัดลำปาง, จารึกดงแม่นางเมือง, ภาษามคธและภาษาเขมร จังหวัดนครสวรรค์, ศิลาจารึกวัดสรศักดิ์ ในประชุมศิลาจารึก เป็นต้น นอกจากนี้ ยังมีผลงานด้านหนังสือเกี่ยวกับหลักภาษาเขมร และ นิทานพื้นเมือง-ไทย เรืองรุมสายสก อีกด้วย

จากผลงานต่างๆ ทั้งหมดข้างต้น รวมถึงความรู้ความสามารถของอาจารย์ฉ่ำ ทองคำวรรณ ทำให้ศาสตราจารย์ฉ่ำ ทองคำวรรณ ได้รับพระราชทานปริญญาศิลปดุษฎีบัณฑิต (โบราณคดี) กิตติมศักดิ์ ในปี พ.ศ. 2511

ศาสตราจารย์ฉ่ำ ทองคําวรรณ ถึงแก่กรรมด้วยโรคหัวใจล้มเหลว ณ บ้านตรอกมะยม ถ. จักรพงศ์ กรุงเทพมหานคร เมื่อวันที่ 20 มีนาคม 2512 ขณะมีอายุได้ 72 ปีเศษ